Fagenes metoder  - Matematik

Arbejdsformer – forskellige veje til viden

Faglige metoder i matematik er konkrete handlingsanvisninger. Det er det vi gør når vi laver matematik.

Metodiske overvejelser er at sammenligne forskellige metoder og diskutere deres evne til at nå et bestemt mål samt kvaliteten af det mål der opnås.

Basal videnskabsteori omfatter et overblik over metoder på tværs af fagene. Forskellige videnskabelige tilgange i forskellige hovedområder. Det omfatter en række abstrakte begreber, der kan bruges om metoder til at skaffe viden.   

Når vi skal se på metoderne specielt i matematik, så kan vi dele dem op i tre grupper, hvor den første er den der præger det daglige arbejde klar mest

Matematikkens tre roller i SRP …

Når vi arbejder i matematik, har vi fokus på fagets teoretiske side. Vi arbejder med definitioner og sætninger, og vi arbejder med at løse rene matematikopgaver (dvs  ikke opgaver, hvor vi skal regne på et virkeligt problem).

Det vi arbejder med kan man kalde matematiske strukturer.

Vi arbejder INDE I MATEMATIKKEN med matematikken egne metoder til at beskrive matematikkens egne strukturer.

Når vi arbejder med matematikken, har vi fokus på fagets anvendte side. Det er noget udenfor matematikken, der betragtes, og matematikken bruges som et redskab.

Vi arbejder typisk med matematiske modeller. Det kan være en funktion der beskriver reaktionshastigheden i en kemisk reaktion, som funktion af en koncentration.

Vi arbejder vi med matematikkens metoder til at beskrive objekter udenfor matematikken

Når vi arbejder om matematikken så er det matematikken der studeres (fx matematik i det antikke Grækenland eller formidling af matematik). Her er det andre fags metoder, der bruges til at beskrive matematikken med. Vi ser på matematikken UDEFRA.

Metoder til at arbejde i matematik.

• Notation. Rigtig mange af de måder vi griber faget an på er tæt knyttet til notationen. At kende notationen gør at vi formulerer os mere præcist for andre og at andre lettere kan forstå det vi siger. Læser man gamle kilder, er det tydeligt at en del af udfordringerne skyldes en aden notation

• Begrebsafklaring/begrebsbilleder/begrebsdefinitioner. Det er vigtigt at vi ved hvad vi mener med begreber som differentialkvotient.
  Både hvordan differentialkvotient er defineret, hvis vi skal bevise et eller andet men også hvordan differentialkvotient i modelopgaver fx kan oversættes til hastighed.

• Teorifremstilling. I SRP-sammenhæng handler det bl.a. om at redegøre for den teori der ligger forud for det vi arbejder med.

• Problemløsning: Analytisk, numerisk og grafisk. Det er det håndværk vi bringer i spil i opgaveregningen. Det er så at sige anvendelsen af den teori/de sætninger vi har.

• Det matematiske ræsonnement. Det kunne betyde lidt af hvert fordi matematisk ræsonnement indgår på mange niveauer, men her kan vi lidt forenklet sige, at det er det arbejde vi laver, når vi omformulerer en ”mærkelig opgave” til et standardproblem. Skal vi finde det punkt der ligger tættest på en kurve givet ved en forskrift, så kan man udtrykke afstanden fra punktet til en punkt på grafen som en funktion af x ogderefter finde minimum for den funktion som vi plejer ved ekstremumsbestemmelse. Den mærkelige opgave er omskrevet til to standardopgaver

• Beviser i matematik – direkte bevis, modstridsbevis, induktionsbevis. Beviset har en central rolle i klassisk matematik. Det er den måde en teori udvikles/formidles.

• Eksperimenter. I sandsynlighedsregning er simulering en kendt metode. Man kan simulere problemstillinger, man ikke kan regne på teoretisk. Ellers er det typisk en måde man arbejder med i matematik, når man udforsker ukendte områder. Det kan være en måde at aflure egenskaber, som man senere kan bevise mere formelt. Derfor er det kun noget vi møder i bøgerne som ”pædagogiske indslag”, men i den virkelige verden, har eksperimenter haft stor betydning for teoriudvikling.

• Eksempler   =   begrebsafklaring eller formidling.)

Metoder til at arbejde med matematik.

Her bruger vi metode INDE fra matematikken til at løse noget UDENFOR matematikken

• Matematisk model. I rigtig mange opgaver får vi udleveret en matematisk model og skal bare omformulere et konkret problem til et matematisk problem- løse det og oversætte svaret tilbage til virkeligheden. Her er arbejdet med at lave modellen og diskutere dens gyldighed udeladt. Vi skal kun regne i den.

• Modellering. Dette er hele den proces, der leder frem til en model. Det kan være en kompliceret proces, der ofte kræver at vi inddrager andre fagpersoner, der kan vurdere om modellen beskriver den virkelige situation godt. 

• Modelanalyse. Her er vi lige som i den første kun inde i en del af processen. Andre har opstillet en model, og vi diskuterer bare modellens gyldighed

Metoder til at arbejde om matematik.

Det kan være hvordan matematik har været udført eller anvendt i fortiden. Det kan være hvordan matematik optræder i litteratur eller kunst. Det kan være hvordan matematik formidles til andre. Det grundlæggende er, at et andet fags metoder bringes i spil for at undersøge matematikken.

Vi kigger altså IND i matematikken UDEFRA

Her er fokus altså på matematikken i en bestemt historisk eller formidlingsmæssig kontekst.

Vi vil altid også arbejde i matematikken (eller med matematikken)

• Studier af selv matematikken.

  Matematikhistorie. Arbejde med kilder.

  Er der fokus på selve på teorien (i matematikken)  fx Eulid eller er der fokus på anvendelsen af matematikken (med matematik) fx korttegning?
  Tofagligt med historie, hvis der er en problemstilling der forholder stig til samfund, mennesker kultur.
   

• Formidlingsprojekter, hvor matematik ønskes formidlet til et bestemt publikum. Hvilken målgruppe? Hvilket medie? Her vil der naturligt være fokus på selve matematikken (i matematikken) samtidig med at eksempler på anvendelse (med matematikken) næsten altid vil indgå.
   

• Studier af matematikkens rolle. (Gaudi – kædelinjer og matematikken bag ved. Romaner, hvor matematik teori integreres i handlingen).
   

• Sammenlignende studier af matematik og et andet fag. Sammenligning af begreber i to fag (fx sandhed i matematik og hos Platon)

Metodiske overvejelser

Du vil næsten altid skulle inddrage forskellige typer metoder. Når vi arbejder I MATEMATIKEN er det tættest på det vi til daglig oplever som "rigtig matematik", men til gengæld er det ofte MED eller OM MATEMATIK-vinkler, der er i stand til at nå spørgsmål, der er interessante for andre fag.

Grundlæggende skal man jo vælge de smetoder, der egner sig til at svare på de stillede spørgsmål, og i SRP er det derfor vigtigt, at du er meget opmærksom på hvilke spørgsmål, der står i din problemstilling, men lige så vigtigt, at du i den indledende fase overvejer, hvilke spørgsmål man kan stille og hvilke fag/metoder det kan inddrage.

Dine og andres undersøgelser

SRP'en er en opgave, der udforsker den videnskabelige arbejdsmetode, og her er det allervigtigste at kunne sætte sig ind i hvad andre har gjort og ment om de spørgsmål du står med. Det er i meget høj grad en øvelse i at vurdere og sammenskrive kilder. Det er derfor vigtigt at du har flere kilder, og at du dokumenterer grundigt hvilke kilder du har brugt.
 

I opgaver med en historisk og/eller humanistisk vinkel kan en diskussion og en personlig holdning være vigtig, men først efter at du har refereret andres holdning. I opgaver alene med naturvidenskabelige fag, er det snarere kompleksiteten i stoffet der tæller frem for en personlig stillingtagen, men her er opsamlingen og sammenskrivningen af kilder helt central.

Basale videnskabsteoriske overvejelser

Hvad adskiller matematik fra andre fag?

• Strengt logisk argumentation og symbolsprog gør det muligt helt kategorisk at afgøre om en påstand er SAND eller FALSK.

• Systematisering af viden. Euklid. Aksiomer, definitioner, sætninger. Det klare grundlag. Matematikken som model for hvordan videnskabelig viden organiseres

• Anvendelser. Alle naturvidenskablige fag bruger notationen fra matematik. Naturens sprog. Galilei (1564-1642), der forklarede, at Naturens bog »er skrevet i det matematiske sprog, ...

Centrale begrebspar: Analytisk/empirisk.

Hvilken type videnskilde?

• Analytisk: Vi henter viden ud fra teoretiske overvejelser. Det er den mest almindelige måde at arbejde på i matematik.

• Empirisk: Vi henter viden ud fra indsamlet data fra eksperimenter/ simulationer for på den måde at afdække sammenhænge. Modeller.

·       
Centrale begrebspar: Deduktiv/induktiv:

Hvilken slutningsmåde? Hvordan kommer vi fra viden til ny viden?

• Deduktiv: Når vi får ny viden ud fra generel viden.

• Induktiv: Når vi får ny viden/formodninger ud fra eksempler. Vi bruger det når vi skal nærme os nyt stof. Giver ikke ”sikker viden”. Fx med empiriske metoder.

Mere materiale:

Metoder og videnskabsteori i matematik - (YouTube)

Metoderogvidenskabsteori-matematik.pptx